Cálculo Automático de Lajes de Betão Armado

No dimensionamento corrente de lajes de betão armado, o projectista vê-se constantemente confrontado com a escolha de armaduras para vários conjuntos de cargas aplicadas. Em cálculo elástico, o processo é directo uma vez que, conhecidas as cargas, determinam-se primeiro os esforços e só depois, a partir daqueles, se obtêm as armaduras para o esforço máximo (admitindo, geralmente, um comportamento plástico da secção em estudo).

Mas no cálculo plástico, além de ser necessário conhecer previamente as armaduras e a sua respectiva distribuição, a segurança tem de ser estabelecida independentemente para cada combinação das acções. Graças à programação matemática, é, no entanto, possível proceder à  determinação directa daquelas armaduras.

Contudo, uma tal determinação requere a clara formulação matemática de um critério, sob a forma de um objectivo, o qual, obviamente, se pretende que traduza um dimensionamento optimizado.
A pesquisa do óptimo é um tema que sempre preocupou o homem e a que é atribuído cada vez mais importância, principalmente quando relacionado com problemas económicos ou com a gestão de recursos escassos. Assim, também no dimensionamento das estruturas está sempre presente a necessidade de minimizar os custos.
No caso particular das lajes de betão armado, o problema pode ser facilmente formulado em síntese plástica limite, utilizando a programação matemática. Pode-se mesmo, à custa de algumas simplificações aceitáveis, obter um programa linear. É então possível obter um problema constituído por restrições lineares e com o objectivo económico de minimizar o volume total de armadura (ou seja, podendo o conjunto de equações e/ou inequações que constituem as restrições conduzir a mais do que uma solução, pretende-se escolher aquela que obedeça ao objectivo expresso).

Nesta formulação, esforços e armaduras são incógnitas e, sendo interactivos, têm liberdade de se acertarem entre si para que o resultado final conduza ao menor volume possível de armadura, desde que satisfaçam as condições fundamentais (equilíbrio, compatibilidade e plasticidade) e outras a que se podem chamar secundárias (utilização e tecnológicas). Além destas, são ainda impostas condições de controlo do esforço transverso.
O problema pode ser discretizado recorrendo à técnica dos elementos finitos e, uma vez linearizado, resolvido pelo algoritmo do simplex.

A programação matemática foi essencialmente desenvolvida no âmbito de áreas bastante distintas da Mecânica Estrutural, como são as relacionadas com a Gestão e a Economia, onde tem uma enorme aplicação. No entanto, já no século XIX Fourier desenvolvia os primeiros trabalhos nos domínios da análise linear e da programação linear, pelo que a Mecânica Estrutural pode chamar a si os primeiros louros, embora haja que reconhecer ter sido durante a segunda grande guerra mundial que a programação linear sofreu um grande impulso, quando foi aplicada a problemas militares, nomeadamente à logística em tempo de guerra. Só mais tarde (anos 50), é que é feita a sua identificação com a análise plástica limite de estruturas, por matemáticos como Charnes e Lemke e investigadores da Mecânica Estrutural como Greenberg e Zienkiewicz.
Em lajes, a associação da programação linear ao método dos elementos finitos foi feita por Hodge, tendo sido seguido por outros autores. No caso particular das lajes de betão armado, destacam-se os trabalhos realizados por Adão da Fonseca.

O problema de optimização deve ser resolvido com base num critério pré-estabelecido (o volume total de armadura tem que ser O mínimo possível), satisfazendo sempre o equilíbrio e as relações constitutivas do material.
Se o problema for resolvido em regime elástico com rigidez apenas função da espessura da laje, a solução óptima das armaduras é a única solução do problema e portanto não há qualquer tipo de optimização. Quando muito, poder-se-ia pensar em optimizar a espessura da laje. Se as variáveis de dimensionamento forem apenas as armaduras, não faz então sentido usar o cálculo elástico para optimizar o volume total de armaduras em lajes de betão armado. Pelo contrário, tirando partido da enorme capacidade de redistribuição de esforços das lajes (estruturas hiperestáticas), o cálculo plástico limite permite chegar a soluções mais económicas.

Para uma dada espessura da laje e uma dada armadura, a carga resistente máxima é única, mas para uma dada carga actuante e uma dada espessura, existem várias distribuições possíveis de armaduras, donde a necessidade de um critério de escolha.
Além da satisfação das equações de equilíbrio e das relações constitutivas (equações de plasticidade e de controle do esforço transverso), devem ser também impostas condições de ordem prática, denominadas por condições de serviço.

Autor: Eugénio Paulo da Cruz Maia
Excerto Adaptado
Imagens: MRMS Contractors, Hong Kong Highway Department, Solidsteel Reinforcing

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